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Der '''Abstand''', auch die '''Entfernung''' oder die '''Distanz''' zweier ist die der kürzesten Verbindung dieser Punkte.

Im ist dies die Länge der geradlinigen zwischen den beiden Punkten. Der Abstand zweier ist die Länge der kürzesten Verbindungslinie der beiden Gegenstände, also der Abstand der beiden einander nächstliegenden Punkte. Werden nicht die einander nächstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang, wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der Schwerpunkte.

Die ist der Teil der Mathematik, der sich mit der Abstandsmessung beschäftigt.

Der ''Abstand'', die ''Entfernung'', die ''Distanz'' zwischen zwei Werten einer Größe oder zwischen zwei en wird bestimmt, indem man den Absolutbetrag ihrer bildet, das heißt, indem sie voneinander abgezogen werden und vom Ergebnis der Absolutbetrag gebildet wird. Der gemessene Abstand ist unabhängig vom gewählten des s, nicht aber von dessen Skalierung ''(siehe auch )''.

In der wird der scheinbare Abstand am Himmel zwischen zwei Himmelsobjekten als '''' angegeben.

Der Abstand zweier im euklidischen Raum (oder allgemeiner in einem ) kann über die definiert werden.

Euklidischer Abstand

Im berechnet man den Abstand (euklidischer Abstand) zweier Punkte mit Hilfe des :

<math> d(A,B) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}

 \text{, wobei } A = ( a_1 , \dotsc, a_n) \in \R^n \text{ und } B = ( b_1 , \dotsc, b_n )\in \R^n</math>


Für die einzusetzenden Werte gilt:
<math>\;\begin{align}

&\left(2\right)a=y_1z_2 - y_2z_1 + y_2z_3 - y_3z_2 + y_3z_1 - y_1z_3 \&\left(3\right)b=z_1x_2 - z_2x_1 + z_2x_3 - z_3x_2 + z_3x_1 - z_1x_3 \&\left(4\right)c=x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_3 - x_3y_2 + x_3y_1 - x_1y_3 \&\left(5\right)f=x_1y_2z_3 - x_1y_3z_2 + x_2y_3z_1 - x_2y_1z_3 + x_3y_1z_2 - x_3y_2z_1 \\end{align}</math>

Wenn drei Punkte <math> P_1 = (x_1, y_1, z_1)</math>, <math>P_2 = (x_2, y_2, z_2)</math>, <math> P_3 = (x_3, y_3, z_3)</math> gegeben sind, die eine Ebene <math>E</math> bestimmen (siehe ) dann lässt sich der Abstand mithilfe der Vektoren <math>\vec{p_1},\;\vec{p_2},\;\vec{p_3}</math> mit folgender berechnen:

<math>\;\;(6)\;\;d(P_0,E)= \left| \frac{(\vec{p_2} - \vec{p_1}) \times (\vec{p_3} - \vec{p_1})}{\left|(\vec{p_2} - \vec{p_1}) \times (\vec{p_3} - \vec{p_1})\right|} \cdot (\vec{p_0} - \vec{p_1}) \right|</math>

Dabei steht <math> \times</math> für das , <math> \cdot</math> für das und <math> \left| \quad \right|</math> für den .

'''Beispiel'''

Konstruktion des Abstandes <math>d(P,E)</math>

Gegeben seien die Koordinaten der drei Punkte der Ebene <math>E\;</math> mit <math>A = \left(1 \left|0 \right|0\right),\;B = \left(2 \left| 1\right|1\right),\;C = \left(3 \left|0 \right|2\right)</math> sowie des außerhalb liegenden Punktes <math>P = \left(4\left|5 \right|-3\right).</math>

Nach dem Eintragen der Punkte <math>A,\;B</math> und <math>C</math> sowie des außerhalb liegenden Punktes <math>P,</math> kann die Ebene <math>E: 2x-2z-2=0</math> generiert werden. Anschließend fällt man das Lot vom Punkt <math>O</math> des auf die Ebene <math>E</math> mit dem Fußpunkt <math>D.</math> Durch die Punkte <math>O</math> und <math>D</math> verläuft auch der, aus der Parameterdarstellung von <math>E</math> ermittelbare, mit <math>\vec n = \left(2 \left|0 \right|-2\right).</math> Abschließend liefert die Parallele zu <math>\overline{OD}</math> ab dem Punkt <math>P</math> bis zur Ebene <math>E</math> den Abstand: <math>d(P,E) = 3 \cdot \sqrt{2}\; = 4{,}2426\ldots\;</math>[LE].

'''Nachrechnung'''

Ermittlung der einzusetzenden Werte für Formel <math>(1)</math>
<math>\;\begin{align}

&\left(2\right)a=0\cdot 1 - 1\cdot 0 + 1\cdot 2 - 0\cdot 1 + 0\cdot 0 - 0\cdot 2 = 2 \&\left(3\right)b=0\cdot 2 - 1\cdot 1 + 1\cdot 3 - 2\cdot 2 + 2\cdot 1 - 0\cdot 3 = 0 \&\left(4\right)c=1\cdot 1 - 2\cdot 0 + 2\cdot 0 - 3\cdot 1 + 3\cdot 0 - 1\cdot 0 = -2\&\left(5\right)f=1\cdot 1\cdot 2 - 1\cdot 0\cdot 1 + 2\cdot 0\cdot 0 - 2\cdot 0\cdot 2 + 3\cdot 0\cdot 1 - 3\cdot 1\cdot 0 = 2 \\end{align}</math>

Diese Werte eingesetzt in <math>(1)</math> ergeben schließlich
<math>\;\;(1)\;\;d(P_0,E)= \frac{|2 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + (-2) \cdot (-3) - 2|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2}} = 3 \cdot \sqrt{2}\; = 4{,}2426\ldots\;</math>[LE].

Das Ergebnis gleicht dem des Beispiels.

Andere Definitionen

Die Definition des kann mithilfe von verallgemeinert werden. Der euklidische Abstand ist der (2-Norm) eines , z. B. des , zugeordnet, siehe .

Manhattan-Metrik

Die sogenannte Manhattan-Metrik ist eine , in der den Abstand <math>d</math> zwischen zwei <math>A</math> und <math>B</math> als die der ihrer Einzel definiert wird:
<math>

d(A,B) = \sum_{i} \left|A_i - B_i\right|
</math>

Die Manhattan-Metrik ist die von der (1-Norm) eines erzeugte Metrik.

Weil die Wege zwischen zwei Punkten immer entlang den horizontalen und vertikalen Linien (Straßen) verlaufen, aber nicht durch die quadratischen ?Gebäudeblöcke?, ist der Abstand zwischen zwei Punkten nicht kleiner und im Allgemeinen größer als der . Der Abstand zwischen zwei Punkten mit ganzzahligen (Kreuzungen) ist immer eine .

So ist beispielsweise in der nebenstehenden Grafik die Manhattan-Metrik in einem , sodass sich

<math>d(A,B) = \left|A_1 - B_1\right| + \left|A_2 - B_2\right| = \left|0 - 6\right| + \left|0 - 6\right| = \left|-6\right| + \left|-6\right| = 12</math>

ergibt, wobei <math>A = (A_1,A_2) = (0,0)</math> und <math>B = (B_1,B_2) = (6,6)</math> die schwarz markierten Punkte sind.

Abstandsmessung auf gekrümmten Flächen

Auf der wird der Abstand entlang von en bestimmt und im oder angegeben. Zur Berechnung des Abstandes siehe .

Auf dem oder anderen Flächen benutzt man die oder den .

In der und den spricht man eher von Distanz oder Entfernung, die metrisch angegeben wird.

Dichtestes Punktpaar

Das Problem des dichtesten Punktpaares (''englisch'' closest pair of points problem) ist die Suche nach den zwei am dichtesten beieinander liegenden in einer . Gegeben ist eine beliebige von Punkten in der Ebene und gesucht sind zwei dieser Punkte, sodass der minimal ist. Ein ähnliches Problem ist die Suche nach den zwei am weitesten voneinander entfernten Punkten in der Ebene, also den zwei Punkten mit dem maximalen .

Der -Algorithmus berechnet die Abstände zwischen allen möglichen Punktpaaren und wählt das Punktpaar mit dem kleinsten Abstand aus. Die des ist quadratisch und liegt in <math>O(n^2)</math>. Ein -Algorithmus hat eine , die in <math> O(n \cdot \log n) </math> liegt.

Siehe auch

Weblinks

Anmerkungen

Einzelnachweise