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Der '''Abstand''', auch die '''Entfernung''' oder die '''Distanz''' zweier Punkte ist die der kürzesten Verbindung dieser Punkte.

Im euklidischen Raum ist dies die Länge der geradlinigen Strecke zwischen den beiden Punkten. Der Abstand zweier geometrischer Objekte ist die Länge der kürzesten Verbindungslinie der beiden Gegenstände, also der Abstand der beiden einander nächstliegenden Punkte. Werden nicht die einander nächstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang, wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der Schwerpunkte.

Die Metrik ist der Teil der Mathematik, der sich mit der Abstandsmessung beschäftigt.

Der ''Abstand'', die ''Entfernung'', die ''Distanz'' zwischen zwei Werten einer Größe oder zwischen zwei Zeitpunkten wird bestimmt, indem man den Absolutbetrag ihrer Differenz bildet, das heißt, indem sie voneinander abgezogen werden und vom Ergebnis der Absolutbetrag gebildet wird. Der gemessene Abstand ist unabhängig vom gewählten Referenzpunkt des Koordinatensystems, nicht aber von dessen Skalierung ''(siehe auch )''.

In der beobachtenden Astronomie wird der scheinbare Abstand am Himmel zwischen zwei Himmelsobjekten als ''Winkelabstand'' angegeben.

Der Abstand zweier Mengen im euklidischen Raum (oder allgemeiner in einem metrischen Raum) kann über die Hausdorff-Metrik definiert werden.

Euklidischer Abstand

Im kartesischen Koordinatensystem berechnet man den Abstand (euklidischer Abstand) zweier Punkte mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:

<math> d(A,B) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}

 \text{, wobei } A = ( a_1 , \dotsc, a_n) \in \R^n \text{ und } B = ( b_1 , \dotsc, b_n )\in \R^n</math>


Für die einzusetzenden Werte gilt:
<math>\;\begin{align}

&\left(2\right)a=y_1z_2 - y_2z_1 + y_2z_3 - y_3z_2 + y_3z_1 - y_1z_3 \&\left(3\right)b=z_1x_2 - z_2x_1 + z_2x_3 - z_3x_2 + z_3x_1 - z_1x_3 \&\left(4\right)c=x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_3 - x_3y_2 + x_3y_1 - x_1y_3 \&\left(5\right)f=x_1y_2z_3 - x_1y_3z_2 + x_2y_3z_1 - x_2y_1z_3 + x_3y_1z_2 - x_3y_2z_1 \\end{align}</math>

Wenn drei Punkte <math> P_1 = (x_1, y_1, z_1)</math>, <math>P_2 = (x_2, y_2, z_2)</math>, <math> P_3 = (x_3, y_3, z_3)</math> gegeben sind, die eine Ebene <math>E</math> bestimmen (siehe Dreipunkteform) dann lässt sich der Abstand mithilfe der Vektoren <math>\vec{p_1},\;\vec{p_2},\;\vec{p_3}</math> mit folgender Formel berechnen:

<math>\;\;(6)\;\;d(P_0,E)= \frac{(\vec{p_2} - \vec{p_1}) \times (\vec{p_3} - \vec{p_1})}{\left|(\vec{p_2} - \vec{p_1}) \times (\vec{p_3} - \vec{p_1})\right|} \cdot (\vec{p_0} - \vec{p_1})</math>

Dabei steht <math> \times</math> für das Kreuzprodukt, <math> \cdot</math> für das Skalarprodukt und <math> \left| \quad \right|</math> für den Betrag des Vektors.

'''Beispiel'''

Konstruktion des Abstandes <math>d(P,E)</math>

Gegeben seien die Koordinaten der drei Punkte der Ebene <math>E\;</math> mit <math>A = \left(1 \left|0 \right|0\right),\;B = \left(2 \left| 1\right|1\right),\;C = \left(3 \left|0 \right|2\right)</math> sowie des außerhalb liegenden Punktes <math>P = \left(4\left|5 \right|-3\right).</math>

Nach dem Eintragen der Punkte <math>A,\;B</math> und <math>C</math> sowie des außerhalb liegenden Punktes <math>P,</math> kann die Ebene <math>E: 2x-2z-2=0</math> generiert werden. Anschließend fällt man das Lot vom Punkt <math>O</math> des Koordinatenursprungs auf die Ebene <math>E</math> mit dem Fußpunkt <math>D.</math> Durch die Punkte <math>O</math> und <math>D</math> verläuft auch der, aus der Parameterdarstellung von <math>E</math> ermittelbare, Normalenvektor mit <math>\vec n = \left(2 \left|0 \right|-2\right).</math> Abschließend liefert die Parallele zu <math>\overline{OD}</math> ab dem Punkt <math>P</math> bis zur Ebene <math>E</math> den Abstand: <math>d(P,E) = 3 \cdot \sqrt{2}\; = 4{,}2426\ldots\;</math>[LE].

'''Nachrechnung'''

Ermittlung der einzusetzenden Werte für Formel <math>(1)</math>
<math>\;\begin{align}

&\left(2\right)a=0\cdot 1 - 1\cdot 0 + 1\cdot 2 - 0\cdot 1 + 0\cdot 0 - 0\cdot 2 = 2 \&\left(3\right)b=0\cdot 2 - 1\cdot 1 + 1\cdot 3 - 2\cdot 2 + 2\cdot 1 - 0\cdot 3 = 0 \&\left(4\right)c=1\cdot 1 - 2\cdot 0 + 2\cdot 0 - 3\cdot 1 + 3\cdot 0 - 1\cdot 0 = -2\&\left(5\right)f=1\cdot 1\cdot 2 - 1\cdot 0\cdot 1 + 2\cdot 0\cdot 0 - 2\cdot 0\cdot 2 + 3\cdot 0\cdot 1 - 3\cdot 1\cdot 0 = 2 \\end{align}</math>

Diese Werte eingesetzt in <math>(1)</math> ergeben schließlich
<math>\;\;(1)\;\;d(P_0,E)= \frac{|2 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + (-2) \cdot (-3) - 2|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2}} = 3 \cdot \sqrt{2}\; = 4{,}2426\ldots\;</math>[LE].

Das Ergebnis gleicht dem des Beispiels.

Andere Definitionen

Die Definition des euklidischen Abstands kann mithilfe von Metriken verallgemeinert werden. Der euklidische Abstand ist der euklidischen Norm (2-Norm) eines Vektorraums, z. B. des dreidimensionalen euklidischen Raums, zugeordnet, siehe Metrischer Raum - Beispiele.

Manhattan-Metrik

Die sogenannte Manhattan-Metrik ist eine Metrik, in der den Abstand <math>d</math> zwischen zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math> als die Summe der absoluten Differenzen ihrer Einzelkoordinaten definiert wird:
<math>

d(A,B) = \sum_{i} \left|A_i - B_i\right|
</math>

Die Manhattan-Metrik ist die von der Summennorm (1-Norm) eines Vektorraums erzeugte Metrik.

Weil die Wege zwischen zwei Punkten immer rechtwinklig entlang den horizontalen und vertikalen Linien (Straßen) verlaufen, aber nicht durch die quadratischen "Gebäudeblöcke", ist der Abstand zwischen zwei Punkten nicht kleiner und im Allgemeinen größer als der euklidischen Abstand. Der Abstand zwischen zwei Punkten mit ganzzahligen Koordinaten (Kreuzungen) ist immer eine ganze Zahl.

So ist beispielsweise in der nebenstehenden Grafik die Manhattan-Metrik in einem zweidimensionalen Raum, sodass sich

<math>d(A,B) = \left|A_1 - B_1\right| + \left|A_2 - B_2\right| = \left|0 - 6\right| + \left|0 - 6\right| = \left|-6\right| + \left|-6\right| = 12</math>

ergibt, wobei <math>A = (A_1,A_2) = (0,0)</math> und <math>B = (B_1,B_2) = (6,6)</math> die schwarz markierten Punkte sind.

Abstandsmessung auf gekrümmten Flächen

Auf der wird der Abstand entlang von en bestimmt und im oder angegeben. Zur Berechnung des Abstandes siehe Orthodrome.

Auf dem Erdellipsoid oder anderen konvexen Flächen benutzt man die oder den Normalschnitt.

In der und den Geowissenschaften spricht man eher von Distanz oder Entfernung, die metrisch angegeben wird.

Dichtestes Punktpaar

Das Problem des dichtesten Punktpaares (''englisch'' closest pair of points problem) ist die Suche nach den zwei am dichtesten beieinander liegenden Punkten in einer Ebene. Gegeben ist eine beliebige Menge von Punkten in der Ebene und gesucht sind zwei dieser Punkte, sodass der euklidische Abstand minimal ist. Ein ähnliches Problem ist die Suche nach den zwei am weitesten voneinander entfernten Punkten in der Ebene, also den zwei Punkten mit dem maximalen euklidischen Abstand.

Der Brute-force-Algorithmus berechnet die Abstände zwischen allen möglichen Punktpaaren und wählt das Punktpaar mit dem kleinsten Abstand aus. Die Laufzeit des Algorithmus ist quadratisch und liegt in <math>O(n^2)</math>. Ein Divide-and-conquer-Algorithmus hat eine Laufzeit, die in <math> O(n \cdot \log n) </math> liegt.

Siehe auch

  • Entfernungsmessung

Weblinks

Anmerkungen

Einzelnachweise