Der '''Abstand''' (auch '''Entfernung''' oder '''Distanz)''' zweier ist die der kürzesten Verbindung dieser Punkte.
Im ist dies die Länge der zwischen den beiden Punkten. Der Abstand zweier ist die Länge der kürzesten Verbindungslinie der beiden Objekte, also der Abstand der beiden einander nächstliegenden Punkte. Werden nicht die einander nächstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang, wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der .
Die ist der Teil der Mathematik, der sich mit der Abstandsmessung beschäftigt.
Der ''Abstand'', die ''Entfernung'', die ''Distanz'' zwischen zwei Werten einer Größe oder zwischen zwei en wird bestimmt, indem man den Absolutbetrag ihrer bildet, das heißt, indem sie voneinander abgezogen werden und vom Ergebnis der Absolutbetrag gebildet wird. Der gemessene Abstand ist unabhängig vom gewählten des s, nicht aber von dessen Skalierung ''(siehe auch )''.
In der wird der scheinbare Abstand am Himmel zwischen zwei Himmelsobjekten als '''' angegeben.
Der Abstand zweier im euklidischen Raum (oder allgemeiner in einem ) kann über die definiert werden.
Euklidischer Abstand
Der Abstand zweier Punkte <math>A</math> und <math>B</math> auf einer Geraden mit den Koordinaten <math>a</math> bzw. <math>b</math> ist der Absolutbetrag <math>|a-b|</math>. Dieser Betrag lässt sich auch schreiben als
- <math>d(A,B)=\sqrt{(a-b)^2}</math>.
Sind zwei Punkte der Ebene in kartesischen Koordinaten <math>A=(a_1, a_2)</math> und <math>B=(b_1, b_2)</math> gegeben, so beträgt der Abstand zwischen <math>A</math> und <math>B</math> nach dem
- <math> d(A,B) = \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2}</math>.
Dieser Abstandsbegriff wird für höherdimensionale Räume in sinnfälliger Weise verallgemeinert, indem man für zwei Punkte <math>A = ( a_1 , \dotsc, a_n) \in \R^n</math> und <math>B = ( b_1 , \dotsc, b_n )\in \R^n</math> den (euklidischen) Abstand zweier Punkte definiert als
- <math> d(A,B) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}</math>.
Der Abstand eines Punkts von einer n oder einer ebenen Fläche ist sein Abstand zum des darauf gefällten , der von einer gekrümmten Linie ist stets ein Abstand von einer ihrer n.
Berechnungsmöglichkeiten für die Abstände von Punkten zu Geraden oder Ebenen sind in der aufgeführt.
Abstand in der Ebene
Abstand zwischen Punkt und Gerade
Unter dem Abstand eines Punktes <math>P</math> von einer Geraden <math>g</math> versteht man die Länge des Lots von <math>P</math> auf <math>g</math>. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist also die kleinste Entfernung, die ein Punkt der Geraden von diesem Punkt haben kann.
In der analytischen Geometrie lässt sich der Abstand zwischen einem <math>P(x_0, y_0)</math> und einer <math>g</math> mit der <math> ax + by + c = 0</math> berechnen als- <math>d(P,g)= \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math>.
- <math>\left(x = \frac{b(bx_0 - ay_0) - ac}{a^2 + b^2},\; y = \frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a^2 + b^2}\right)</math>
- <math> a = y_2 - y_1</math>
- <math> b = x_1 - x_2</math>
- <math> c = x_2y_1 - x_1y_2</math>
Diese Werte können in die eingesetzt werden.
'''Beispiel'''
Eingesetzte Werte für Gerade <math>g</math>: <math>a = -3,\;b = 4,\; c = 10</math> und für Punkt <math>P:\; x_0 =4,\; y_0 = 6</math>- <math>d(P,g) = \frac{(-3) \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 10}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = \frac{22}{5} = 4{,}4\;</math>
Abstand im dreidimensionalen Raum
Für die Konstruktion des Abstandes bedarf es als zusätzliches Hilfsmittel einer
Abstand zwischen Punkt und Gerade
Der Abstand zwischen dem <math> P_0 = (x_0, y_0, z_0)</math> und der <math>g</math>, die durch die Punkte <math> P_1 = (x_1, y_1, z_1)</math> und <math>P_2 = (x_2, y_2, z_2)</math> verläuft, beträgt mit den Ortsvektoren <math>\vec{p}_0, \;\vec{p}_1,\;\vec{p}_2</math>:- <math>d(P_0,g)= \frac{\left|(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_1 - \vec{p}_0)\right|}{\left|\vec{p}_2 - \vec{p}_1\right|} = \frac{\left|(\vec{p}_0 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_0 - \vec{p}_2)\right|}{\left|\vec{p}_2 - \vec{p}_1\right|}</math>
'''Beispiel'''
Konstruktion des Abstandes <math>d(P_0,g)</math>.
Gegeben sind die Koordinaten der Punkte <math>P_1 = \left(3{,}5 \left| 2{,}5 \right| 0\right)</math> und <math>P_2 = \left(-1 \left| 7\right| 0\right)</math>, durch die die Gerade <math>g</math> verläuft, und der Punkt <math>P_0 = \left(5 \left| 6 \right| 3{,}5\right)</math>.
Nach dem Einzeichnen der Geraden <math>g</math> durch <math>P_1</math>, <math>P_2</math> und dem Punkt <math>P_0</math> werden die <math>\vec{p}_1,\;\vec{p}_2</math> und <math>\vec{p}_0</math> eingezeichnet. Eine abschließend errichtete auf die Gerade <math>g</math> durch Punkt <math>P_0</math> liefert den Abstand <math>d(P_0,g) = 4{,}974\ldots\;</math>[LE].
'''Nachrechnung'''
Diese Werte in die Formel eingesetzt, ergeben
- <math>d(P_0,g)= \frac{\left|(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_1 - \vec{p}_0)\right|}{\left|\vec{p}_2 - \vec{p}_1\right|}
= \frac{\left|\begin{pmatrix} -15{,}75 \\ -15{,}75 \\ 22{,}5 \end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix} -4{,}5 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}\right|}
</math>
- <math>= \frac{\left| \sqrt{(-15{,}75)^2 + (-15{,}75)^2 + 22{,}5^2} \right|}{\left| \sqrt{(-4{,}5)^2 + 4{,}5^2 + 0^2} \right|}
= 4{,}974\ldots\;
</math>[LE].
Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden
Zwei windschiefe Geraden (<math>g_1,\;g_2 </math>), wobei die eine durch die Punkte <math>P_1 = (x_1, y_1, z_1)</math> und <math> P_2 = (x_2, y_2, z_2)</math> und die andere durch die Punkte <math> P_3 = (x_3, y_3, z_3)</math> und <math> P_4 = (x_4, y_4, z_4)</math> verläuft, haben mit den Vektoren <math>\vec{p}_1,\;\vec{p}_2,\;\vec{p}_3,\;\vec{p}_4</math> folgenden Abstand:- <math>d(g_1,g_2)= \frac{\left|(\vec{p}_3 - \vec{p}_1) \cdot ((\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_4 - \vec{p}_3))\right|}{\left|(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_4 - \vec{p}_3)\right|}</math>
'''Beispiel'''
Konstruktion des Abstandes <math>d(g_1,g_2)</math> mithilfe einer Hilfsebene.
Gegeben seien die Koordinaten der vier Punkte <math>P_1 = \left(3{,}5 \left| 2{,}5 \right| 0\right),\;P_2 = \left(-1 \left| 7\right| 0\right),\;P_3 = \left(5 \left| 6 \right| 3{,}5\right)</math> und <math>P_4 = \left(0{,}2 \left| 2{,}5 \right| 6\right).</math>
Nach dem Einzeichnen der Geraden <math>g_1</math> durch <math>P_1</math>, <math>P_2</math> und <math>g_2</math> durch <math>P_3</math>, <math>P_4</math> werden zunächst die <math>\vec{p}_1,\;\vec{p}_2\;\vec{p}_3</math> und <math>\vec{p}_4</math> eingezeichnet. Für das Bestimmen der Hilfsebene wird eine Parallele zu <math>g_2</math> durch <math>P_1</math> gezogen und anschließend der Punkt <math>A</math> beliebig auf der Parallele markiert. Mithilfe der somit gegebenen drei Punktes <math>A, P_1</math> und <math>P_2</math> wird die Ebene <math>E</math> generiert. Es folgt das Fällen des Lots vom Punkt <math>P_3</math> auf die Ebene <math>E</math> mit Fußpunkt <math>B</math> und eine Parallele zu <math>g_2,</math> die <math>g_1</math> in <math>C</math> (rot) schneidet. Abschließend liefert die Parallele zu <math>\overline{P_3B}</math> ab dem Punkt <math>C</math> bis zur Geraden <math>g_2</math> den Schnittpunkt <math>D</math> und somit den Abstand: <math>d(g_1,g_2) = 4{,}605\ldots\;</math>[LE].
'''Nachrechnung'''
Diese Werte eingesetzt in die Formel ergeben- <math>d(g_1,g_2) = \frac{\left|(\vec{p}_3 - \vec{p}_1) \cdot ((\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_4 - \vec{p}_3))\right|}{\left|(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_4 - \vec{p}_3)\right|}
= \frac{\left|\begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 3{,}5 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11{,}25 \\ 11{,}25 \\ 37{,}35 \end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix} 11{,}25 \\ 11{,}25 \\ 37{,}35 \end{pmatrix}\right|}
</math>
- <math>= \frac{\left| 186{,}975 \right|}{\left| \sqrt{11{,}25^2 + 11{,}25^2 + 37{,}35^2} \right|}
= 4{,}605\ldots\;
</math>[LE].
Abstand zwischen Punkt und Ebene
Der Abstand zwischen dem <math> P_0 = (x_0, y_0, z_0)</math> und der <math>E</math> mit der <math> ax + by + cz - f = 0</math> Für die einzusetzenden Werte gilt:- <math>\;\begin{align}
&\left(2\right)a=y_1z_2 - y_2z_1 + y_2z_3 - y_3z_2 + y_3z_1 - y_1z_3 \&\left(3\right)b=z_1x_2 - z_2x_1 + z_2x_3 - z_3x_2 + z_3x_1 - z_1x_3 \&\left(4\right)c=x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_3 - x_3y_2 + x_3y_1 - x_1y_3 \&\left(5\right)f=x_1y_2z_3 - x_1y_3z_2 + x_2y_3z_1 - x_2y_1z_3 + x_3y_1z_2 - x_3y_2z_1 \\end{align}</math>
Wenn drei Punkte <math> P_1 = (x_1, y_1, z_1)</math>, <math>P_2 = (x_2, y_2, z_2)</math>, <math> P_3 = (x_3, y_3, z_3)</math> gegeben sind, die eine Ebene <math>E</math> bestimmen (siehe ) dann lässt sich der Abstand mithilfe der Vektoren <math>\vec{p}_1,\;\vec{p}_2,\;\vec{p}_3</math> mit folgender berechnen:
- <math>\;\;(6)\;\;d(P_0,E)= \left| \frac{(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_3 - \vec{p}_1)}{\left|(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_3 - \vec{p}_1)\right|} \cdot (\vec{p}_0 - \vec{p}_1) \right|</math>
Dabei steht <math> \times</math> für das , <math> \cdot</math> für das und <math> \left| \quad \right|</math> für den .
'''Beispiel'''
Konstruktion des Abstandes <math>d(P,E)</math>
Gegeben seien die Koordinaten der drei Punkte der Ebene <math>E\;</math> mit <math>A = \left(1 \left|0 \right|0\right),\;B = \left(2 \left| 1\right|1\right),\;C = \left(3 \left|0 \right|2\right)</math> sowie des außerhalb liegenden Punktes <math>P = \left(4\left|5 \right|-3\right).</math>
Nach dem Eintragen der Punkte <math>A,\;B</math> und <math>C</math> sowie des außerhalb liegenden Punktes <math>P,</math> kann die Ebene <math>E: 2x-2z-2=0</math> generiert werden. Anschließend fällt man das Lot vom Punkt <math>O</math> des auf die Ebene <math>E</math> mit dem Fußpunkt <math>D.</math> Durch die Punkte <math>O</math> und <math>D</math> verläuft auch der, aus der Parameterdarstellung von <math>E</math> ermittelbare, mit <math>\vec n = \left(2 \left|0 \right|-2\right).</math> Abschließend liefert die Parallele zu <math>\overline{OD}</math> ab dem Punkt <math>P</math> bis zur Ebene <math>E</math> den Abstand: <math>d(P,E) = 3 \cdot \sqrt{2}\; = 4{,}2426\ldots\;</math>[LE].
'''Nachrechnung'''
Ermittlung der einzusetzenden Werte für Formel <math>(1)</math>- <math>\;\begin{align}
&\left(2\right)a=0\cdot 1 - 1\cdot 0 + 1\cdot 2 - 0\cdot 1 + 0\cdot 0 - 0\cdot 2 = 2 \&\left(3\right)b=0\cdot 2 - 1\cdot 1 + 1\cdot 3 - 2\cdot 2 + 2\cdot 1 - 0\cdot 3 = 0 \&\left(4\right)c=1\cdot 1 - 2\cdot 0 + 2\cdot 0 - 3\cdot 1 + 3\cdot 0 - 1\cdot 0 = -2\&\left(5\right)f=1\cdot 1\cdot 2 - 1\cdot 0\cdot 1 + 2\cdot 0\cdot 0 - 2\cdot 0\cdot 2 + 3\cdot 0\cdot 1 - 3\cdot 1\cdot 0 = 2 \\end{align}</math>
Diese Werte eingesetzt in <math>(1)</math> ergeben schließlich- <math>\;\;(1)\;\;d(P_0,E)= \frac{|2 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + (-2) \cdot (-3) - 2|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2}} = 3 \cdot \sqrt{2}\; = 4{,}2426\ldots\;</math>[LE].
Das Ergebnis gleicht dem des Beispiels.
Andere Definitionen
Die Definition des kann mithilfe von verallgemeinert werden. Der euklidische Abstand ist der (2-Norm) eines , z. B. des , zugeordnet, siehe .
Manhattan-Metrik
Die sogenannte Manhattan-Metrik ist eine , in der der Abstand <math>d</math> zwischen zwei <math>A</math> und <math>B</math> als die der ihrer Einzel definiert wird:- <math>
d(A,B) = \sum_{i} \left|A_i - B_i\right|
</math>
Die Manhattan-Metrik ist die von der (1-Norm) eines erzeugte Metrik.
Weil die Wege zwischen zwei Punkten immer entlang den horizontalen und vertikalen Linien (Straßen) verlaufen, aber nicht durch die quadratischen ?Gebäudeblöcke?, ist der Abstand zwischen zwei Punkten nicht kleiner und im Allgemeinen größer als der . Der Abstand zwischen zwei Punkten mit ganzzahligen (Kreuzungen) ist immer eine .
So ist beispielsweise in der nebenstehenden Grafik die Manhattan-Metrik in einem , sodass sich
- <math>d(A,B) = \left|A_1 - B_1\right| + \left|A_2 - B_2\right| = \left|0 - 6\right| + \left|0 - 6\right| = \left|-6\right| + \left|-6\right| = 12</math>
ergibt, wobei <math>A = (A_1,A_2) = (0,0)</math> und <math>B = (B_1,B_2) = (6,6)</math> die schwarz markierten Punkte sind.
Abstandsmessung auf gekrümmten Flächen
Auf der wird der Abstand entlang von en bestimmt und im oder angegeben. Zur Berechnung des Abstandes siehe .
Auf dem oder anderen Flächen benutzt man die oder den .
In der und den spricht man eher von Distanz oder Entfernung, die metrisch angegeben wird.
Dichtestes Punktpaar
Das Problem des dichtesten Punktpaares (''englisch'' closest pair of points problem) ist die Suche nach den zwei am dichtesten beieinander liegenden in einer . Gegeben ist eine beliebige von Punkten in der Ebene und gesucht sind zwei dieser Punkte, sodass der minimal ist. Ein ähnliches Problem ist die Suche nach den zwei am weitesten voneinander entfernten Punkten in der Ebene, also den zwei Punkten mit dem maximalen .
Der -Algorithmus berechnet die Abstände zwischen allen möglichen Punktpaaren und wählt das Punktpaar mit dem kleinsten Abstand aus. Die des ist quadratisch und liegt in <math>O(n^2)</math>. Ein -Algorithmus hat eine , die in <math> O(n \cdot \log n) </math> liegt.
Siehe auch
Weblinks
Anmerkungen
Einzelnachweise
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